本文解释了矩阵和矩阵秩的基本变换。
基本矩阵变换的概念对于很多人来说可能比较陌生,但事实上,我们在中学求解多元方程时就已经使用过这个概念。不过,在教科书中,这种方法被称为排除法。首先,我们看一个教科书上的例子。
假设我们想要解这个方程。我应该怎么办?
首先,将等式1与等式2相加,将等式4与等式3相加,将等式1乘以6,将等式4与等式4相加,得到
然后减去方程2,并将方程4乘以5,得到x4=3。
您可以通过代入x4=3来求解x1、x2和x3。
消除后,我们无法求解所有变量,因为方程的数量少于变量的数量。这里x3可以是任何值。
上面的计算方法我们都非常熟悉了。如果我们用一个矩阵来表示所有的时间,这个矩阵D可以写为
所以我们刚才进行的消除过程实际上就是这个矩阵的基本变换。总结这个过程,矩阵的基本变换操作涉及三种类型
改变两行
将一行中的所有元素乘以数字k,k0。
将一行中的每个元素乘以数字k,k0并将其添加到另一行。
由于上述三种类型都是关于动作单位的,因此上述三种变换也称为“行变换”。同样,也可以对列进行上述三种操作,称为“列变换”。行变换和列变换的组合是矩阵的基本变换。
类似地,可以对矩阵D使用上面提到的基本变换操作,将其替换为以下结果
这对应于一个方程组。
Dt矩阵是基本行变换的结果。为了让事情变得更简单,您还可以进行列转换。通过仅交换第三列和第三列,您可以通过基本列转换删除第五列。之后是这样的
使用数据归纳法很容易证明,经过一系列初等变换,任意mn矩阵都可以转换为以下形式
r是最简单矩阵中非零行的数量,也称为矩阵的秩。将矩阵A的秩记录为RA。
当我们介绍行列式的时候,我们说过行列式有很多性质。其中之一是,即使在矩阵进行基本变换之后,其行列式也不会改变。我们还知道,如果行列式中有全为0的行或列,则行列式为0。
因此,对于n阶矩阵A,秩为R
如果RA=RB
证明过程也非常简单。它主要使用矩阵秩和最简单矩阵的定义。
假设RA=r并将B矩阵简化为其最简单的形式。结果如下
1显然,当RA
2若RA=RB=r=n,则矩阵Bf中dr+1=0且bij不会出现,因此方程组的解可直接写出。
此时,方程组有唯一解。
3若RA=RB=r
参数c1、c2和cn-r可以取任意值,因此方程有无数个解。上述解的形式是线性方程组的典型解。
齐次线性方程组
如果将上述线性方程组中的所有常数项都设为0,则称其为齐次方程组,如下所示。
齐次方程组的最大特点是当x=0时一定有解,称为方程组的零解。我们也是通过展开矩阵来判断,其实写法和之前的形式是一样的。
与非齐次线性方程不同,我们可以得出dr+1=0,因此无解。此时需要确定的是方程组是否存在非零解。也是通过矩阵的秩来判断的。判断条件也很简单。如果RA=n,则无解。非零解如果RA
首先,我们来写一下RA=n的情况。此时,矩阵Bf如下。
也就是说
R.A.
矩阵初等变换后与原矩阵的关系和矩阵初等变化的话题已经一一解完毕,希望对诸位有所帮助。
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